Solving Problems?

Materiali riguardanti la risoluzione di problemi per tutti i livelli scolastici di Fabio Brunelli e Bruno Iannamorelli

1. Introduzione

Alcuni colleghi che avevano partecipato al nostro gruppo di lavoro, nella Scuola Estiva di Matematica organizzata da Sintab-Academy a Pettorano sul Gizio nel giugno 2024, ci hanno chiesto di raccogliere i materiali della tre giorni intensiva. E’ così nata l’idea di questo breve articolo, che nulla vuole togliere ai numerosi testi ben più esaurienti su questo argomento (vedi bibliografia).

Dopo le presentazioni, abbiamo introdotto l’argomento del nostro laoratorio con due minuti del noto film “Apollo 13” del 1995. Tre astronauti americani sono in pericolo di vita. Durante il già tormentato viaggio di ritorno, la base si accorge di un imminente pericolo: il livello di CO2 sta per diventare tossico. A terra, i tecnici affrontano una vera sfida di problem solving: “E’ una emergenza che non è mai stata presa in considerazione … dal piano di sopra ci hanno rifilato questa rogna e gliela dobbiamo risolvere; ci dobbiamo inventare il modo di mettere questo nel buco fatto per questo, usando questa roba. Vediamo di organizzarci, è meglio che qualcuno faccia del caffè ragazzi …”

La scena rappresenta bene la definizione di problema di Gaetano Kanizsa (1973): “Un problema sorge quando un essere vivente, motivato a raggiungere una meta, non può farlo in forma automatica o meccanica, cioè mediante un’attività istintiva o attraverso un comportamento appreso. L’esistenza di una motivazione e la presenza nella situazione problematica, di un impedimento che non permette l’azione diretta, creano uno stato di squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un individuo, spingendolo ad agire per ricostruire l’equilibrio”.

La bibliografia relativa all’argomento è sterminata. Molti testi sono di psicologi, sociologi e psicolinguisti, che hanno introdotto molte teorie e classificazioni. A noi non interessa tanto un quadro teorico di tipo psicologico, quanto i rapporti dell’argomento con l’insegnamento della matematica nelle classi.

Un corsista ci ha chiesto perché usare l’espressione Solving problems? Piuttosto che Risolvere problemi? La risposta è presto detta: la parola problemi nel linguaggio scolastico rimanda immediatamente a quelli dei libri di testo, che generalmente non sono veri problemi, ma piuttosto esercizi di applicazione delle regole poco prima introdotte nello stesso capitolo.

Abbiamo infatti le seguenti descrizioni:

Esercizi: Propongono in qualche modo situazioni già conosciute; Propongono una matematica riproduttiva; Hanno carattere ripetitivo, meccanico; Servono a rinforzare abilità possedute; Negli esercizi sono importanti i calcoli, il risultato e la velocità.

Problemi: Sono situazioni “nuove”; Propongono una matematica produttiva; Hanno carattere di originalità; Servono a creare nuove conoscenze e competenze; Nei problemi è importante la strategia risolutiva (il risultato e la velocità contano di meno).

Illuminante in merito è lo schema dell’OCSE – PISA, riguardante il ciclo di risoluzione dei problemi in matematica, da noi qui riformulato e che va letto in senso orario:

Se gli studenti italiani di tutti i livelli se la cavano in modo accettabile nella colonna di destra, dall’alto in basso, dove prevalgono abilità esecutive, mostrano invece difficoltà nelle due righe orizzontali: sia quella della matematizzazione in alto, che in quella in basso della interpretazione dei risultati, aspetti ambedue fondamentali nel problem solving. Ci piace ricordare a questo punto una frase di Seymour Papert (Sud Africa 1928 – USA 2016), che era matematico, informatico, pedagogista e al quale dobbiamo il Linguaggio Logo (1967), precursore del coding di oggi: “Impariamo meglio facendo, impariamo ancora meglio se colleghiamo il nostro fare con il parlare ed il pensare su ciò che abbiamo fatto”.

2. Nani sulle spalle dei giganti

Il grande padre del problem solving matematico è probabilmente George Polya, nato in Ungheria nel 1887 e morto in California 1985 (Polya, 2026). Altri grandi padri potrebbero essere i matematici italiani dell’inizio del novecento; essi auspicavano un insegnamento della matematica che suscitasse l’interesse e l’intuizione degli allievi, anche con l’uso di materiali. Queste idee innovative furono portate nella scuola elementare da Maria Montessori e nella scuola media da Emma Castelnuovo. Emma era stata fortemente influenzata dal pensiero del padre Guido e dello zio Federigo Enriques. Aveva frequentato a Roma Lucio Lombardo Radice e Bruno De Finetti, a cui dobbiamo la concezione soggettiva di probabilità. Nel 1948 Emma Castelnuovo scrive il suo primo libro di testo per la scuola media, Geometria intuitiva per le scuole medie inferiori, edito nel maggio del 1949. Negli anni ‘60 nasce in Inghilterra lo School Mathematics Project, che produrrà diversi volumi con guide per gli insegnanti, poi tradotti in italiano a cura dell’UMI. Negli anni ‘70 nascono in Italia con l’aiuto del CNR i Gruppi di Ricerca Didattica. Abbiamo avuto la fortuna di conoscere nel gruppo di Pisa Giovanni Prodi, Vittorio Checcucci e Vinicio Villani, particolarmente attivi in quel periodo. Tutte le persone citate ed altre furono artefici del Programmi per la Scuola Media del 1979.

Scrive Emma Castelnuovo (Castelnuovo 1970): “[Possiamo distinguere] esercizi e problemi “aperti”: (…) Ho cercato di disporre gli esercizi, per ogni capitolo, in ordine di difficoltà. I bambini devono rendersi conto che risolvere un problema non significa trovare la soluzione nel modo più rapido ed esaurire così la questione; perché, la maggior parte degli esercizi apre una problematica, ponendo una questione aperta. Ad esempio: “Quale è l’area di un rettangolo di perimetro cm 24? “La risposta non è, evidentemente, unica: il bambino, che non è abituato a questo genere di problemi, rimarrà all’inizio assai perplesso. Poi ci prenderà gusto e non vorrà «mettersi» altro che a problemi aperti: è infatti solo così che avrà l’impressione di «fare della matematica». Questi problemi aperti conducono, spontaneamente, a scrivere una relazione: relazione che potrà cominciare con un semplice schema; per esempio, per riferirsi al problema sul rettangolo di perimetro cm 24, con una tabella di questo tipo: base… altezza… area… L’osservazione della tabella conduce a tante considerazioni: valore massimo dell’area, valore minimo, casi uguali, cioè simmetria nei valori dell’area. Conduce anche ad osservazioni sul prodotto di un numero intero per un numero minore di 1. Poi, ancora, fa nascere il desiderio di costruire il grafico della funzione. Questa problematica sui rettangoli isoperimetrici fa ricordare altri casi di poligoni aventi lo stesso perimetro; e può anche portare alla considerazione del problema duale, cioè del problema di rettangoli (o in generale poligoni) aventi la stessa area. (…) In ogni modo, e ancora una volta lo dico, incoraggiamo i bambini a scrivere, non togliamo loro l’entusiasmo dicendo un troppo secco “non è chiaro; le tue frasi sono contorte; non è un linguaggio matematico”. Ripetiamo che «scrivere di matematica» è difficile, e ci si arriva a poco a poco.”

Proprio oggi, 8 luglio 2024, mentre scriviamo queste righe, durante il 15° Convegno ICME, che si sta svolgendo a Sydney, il prof. Ferdinando Arzarello del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino ha ricevuto il «Felix Klein Award for life-time academic achievement in mathematics education»: Il Premio Felix Klein viene assegnato per i risultati accademici ottenuti nell’insegnamento della matematica. Questo premio mira a riconoscere quegli studiosi eccellenti che hanno plasmato il campo dell’insegnamento della matematica nel corso della loro vita. Il premio premia quei candidati che hanno apportato contributi sostanziali alla ricerca e hanno introdotto nuove questioni, idee, prospettive e riflessioni critiche. Vengono considerati anche i ruoli di leadership, il tutoraggio e il riconoscimento tra pari, nonché la relazione effettiva o potenziale tra la ricerca svolta e il miglioramento dell’insegnamento della matematica in generale, attraverso le connessioni tra ricerca e pratica.

Ferdinando Arzarello, ringraziando per il prestigioso premio i colleghi dell’ICME, ha ricordato tutti i ricercatori italiani in didattica della matematica, facendo in particolare i nomi di Giovanni Prodi ed Emma Castelnuovo.

3. I Programmi

Una trattazione sistematica e completa di questo aspetto richiederebbe molte pagine. Diamo qui solo pochi riferimenti essenziali.

Non ci dilungheremo in un esame dettagliato dei Programmi del 1979, del quale consigliamo ai giovani una attenta lettura. Leggiamo riguardo alle scienze matematiche, chimiche, fisiche e naturali, alcune affermazioni di una modernità sorprendente: 

“Le scienze matematiche, chimiche, fisiche e naturali con i loro propri metodi e contenuti, tendono a sviluppare sia la capacità logica, astrattiva e deduttiva, sia una mentalità scientifica nel modo di affrontare i problemi attraverso un rapporto costruttivo e dinamico con la realtà sostenuto da un complesso di conoscenze iniziali e da adeguati strumenti di formalizzazione del pensiero. L’alunno sarà così avviato ad una comprensione delle interazioni fra sapere matematico-scientifico e società umana, che lo preparerà ad autonomia di giudizio e a capacità di scelte consapevoli.”

E ancora:

“Esaminare situazioni, fatti e fenomeni; riconoscere proprietà varianti e invarianti, analogie e differenze; registrare, ordinare e correlare dati; porsi problemi e prospettarne soluzioni; verificare se vi è rispondenza tra ipotesi formulate e risultati sperimentali; inquadrare in un medesimo schema logico questioni diverse; comprendere la terminologia scientifica corrente ed esprimersi in modo chiaro, rigoroso e sintetico; usare ed elaborare linguaggi specifici della matematica e delle scienze sperimentali, il che fornisce anche un contributo alla formazione linguistica; considerare criticamente affermazioni ed informazioni, per arrivare a convinzioni fondate e a decisioni consapevoli.”

E ancora:

“Per il conseguimento degli obiettivi predetti, si farà ricorso ad osservazioni, esperimenti, problemi tratti da situazioni concrete così da motivare l’attività matematica della classe, fondandola su una sicura base intuitiva.” …

“Si terrà presente che «risolvere un problema» non significa soltanto applicare regole fisse a situazioni già schematizzate, ma vuol dire anche affrontare problemi allo stato grezzo per cui si chiede all’allievo di farsi carico completo della traduzione in termini matematici.”

Questi Programmi furono veramente innovativi anche nel panorama europeo. Non presentavano una scansione annuale degli argomenti, quindi avevano già una vera visione curricolare. Nella parte finale non mancavano alcuni interessanti “sconsigli”:

L’argomento «proporzioni» non deve essere appesantito imponendo, come nuove, regole che sono implicite nella proprietà delle operazioni aritmetiche, ma deve essere finalizzato alla scoperta delle leggi di proporzionalità (y = kx; xy = k)…

Va sconsigliata l’insistenza su aspetti puramente meccanici e mnemonici, e quindi di scarso valore formativo. Si eviterà l’imposizione di regole che potrebbero essere più naturalmente individuate in altri contesti più appropriati. Ad esempio, argomenti come la scomposizione in fattori primi, la ricerca del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo, il calcolo di grosse espressioni aritmetiche, l’algoritmo per l’estrazione della radice quadrata, il calcolo letterale avulso da riferimenti concreti, non dovranno avere valore preponderante nell’insegnamento e tanto meno nella valutazione.

Dobbiamo purtroppo ammettere che a distanza di 45 anni in troppe scuole italiane queste indicazioni non vengono ancora attuate.

I Programmi per la Scuola Elementare del 1985 (da qualcuno definiti i programmi della metacognizione) prevedono per la matematica cinque “Obiettivi e contenuti”: Problemi, Aritmetica, Geometria e Misura, Logica, Probabilità Statistica e Informatica. Giovanni Prodi, membro della commissione, ci riferiva che la collocazione dei Problemi al primo posto non era casuale, ma intendeva trasmettere agli insegnanti l’idea che la matematica consisteva in primo luogo nella risoluzione di problemi. 

Per maggiore chiarezza il testo recitava: “Il pensiero matematico è caratterizzato dall’attività di risoluzione di problemi e ciò è in sintonia con la propensione del fanciullo [unica parola suggerita dalla allora ministra Franca Falcucci] a porre domande e a cercare risposte. Di conseguenza le nozioni matematiche di base vanno fondate e costruite partendo da situazioni problematiche concrete, che scaturiscono da esperienze reali del fanciullo e che offrano anche l’opportunità di accertare quali apprendimenti matematici egli ha in precedenza realizzato, quali strumenti e quali strategie risolutive utilizza e quali sono le difficoltà che incontra.”

Abbiamo anche portato le due immagini anche alla nostra bancarella della Festa della Matematica di Pettorano, sabato pomeriggio in piazza Umberto I. Parecchia gente di tutte le età ha sostato dubbiosa: “Aspetta, non dirmelo, li voglio trovare io!”

Non abbiamo tenuto conferenze sul concetto di “pensiero laterale” in psicologia, ma la storiella della betoniera incastrata nella galleria ci è servita per illustrare l’idea di “spostamento”, o anche di “cambio del punto di vista”.

In effetti in alcuni problemi grafico – percettivi è sufficiente allontanarsi dall’immagine, o avvicinarsi, o attuare una rotazione, affinché la soluzione appaia evidente.
Un esempio famoso è il quiz del posto auto, di cui forniamo qui la soluzione:

Formare quattro triangoli equilateri con sei segmenti uguali non è banale: se ci limitiamo al piano possiamo formare due soli triangoli equilateri, oppure, accostando i triangoli, ne possiamo formare tre (aggiungendo però un settimo segmento). Per rispondere alla richiesta del problema occorre uscire dal piano, passare da uno spazio a due dimensioni ad uno spazio a tre dimensioni, fino a formare un tetraedro:

Abbiamo riflettuto sul famoso problema dei nove punti, della fotografa americana Vivian Maier (1926-2009):

A prima vista sembra impossibile, ma la soluzione diventa ovvia abbandonando alcune ipotesi implicite che il nostro cervello ci impone automaticamente (restare chiusi nel perimetro della figura). 

Evidentemente non esiste un metodo principe per risolvere i problemi. Tuttavia osserviamo che tutti quelli presentati finora richiedono un cambiamento del punto di vista psicologico (pensiero laterale), una sorta di spostamento, qualche volta proprio fisico – geometrico. 

Nel caso dei nove punti la soluzione si trova non considerando la figura in sé, ma la figura inserita in una porzione di piano più ampia.

Siamo poi passati al problem solving più propriamente matematico, proponendo qualcosa di molto semplice, Il Naso di Pinocchio, problema dal Rally Matematico Transalpino, destinato agli ultimi tre anni della scuola primaria, ma testato con successo anche nella scuola secondaria: 

Il naso di Pinocchio è lungo 5 centimetri. Quando Pinocchio dice una bugia la Fata dai capelli turchini glielo fa allungare di 3 centimetri, ma quando Pinocchio dà una risposta sincera la Fata glielo fa accorciare di 2 centimetri.  Alla fine della giornata Pinocchio ha il naso lungo 20 centimetri e ha detto 7 bugie. 

Quante risposte sincere ha dato Pinocchio alla Fata nel corso della giornata? Spiegate come avete fatto a trovare la risposta.

Il problema è stato risolto a gruppi dai nostri corsisti e poi discusso. Al solito la cosa che colpisce in questi buoni problemi è come esistano molti procedimenti differenti, dalla sola addizione e sottrazione, alle quattro operazioni aritmetiche, sino ad un procedimento con un’equazione di primo grado. Abbiamo anche mostrato la documentazione fotografica di una trasposizione didattica realizzata in una scuola dell’infanzia della Toscana, dove i bambini hanno prima ascoltato la favola dalla maestra e poi agito materialmente su un grosso modello di burattino di cartone con il naso allungabile e accorciabile mediante blocchetti di lego.

Sempre dalla Banca dei Problemi dell’RMT è stato poi proposto Il ritardatario, del 6° Rally, (1998, cat 4, 5, 6, 7, 8): Nella classe di Luca molti bambini hanno preso la brutta abitudine di arrivare a scuola in ritardo. La maestra propone un patto per i 25 giorni di scuola che mancano alle vacanze di Pasqua. Alla fine del periodo stabilito darà ad ogni bambino 3 caramelle per ogni giorno in cui è arrivato puntuale e ne chiederà 12 per ogni giorno di ritardo. Luca, che è stato presente 25 giorni, non riceve nemmeno una caramella ma neanche ne deve dare alla maestra. 

Quanti giorni Luca è arrivato in ritardo a scuola? Spiegate il vostro ragionamento.

I colleghi lo hanno risolto in gruppi, cercando anche di immaginare diversi procedimenti a secondo del livello di scuola. Si parte da metodi per tentativi, più o meno organizzati, anche con l’uso di tabelle, fino all’utilizzo di metodi algebrici. Strategico è il rendersi conto che Luca perde con un solo ritardo il credito accumulato con quattro giorni di puntualità, cioè che nel problema esiste un ciclo di cinque giorni che realizza la richiesta del problema. A conclusione di questo lavoro è stato mostrato un video dove allievi di una classe quarta mostrano come hanno risolto il problema in puro stile “contratto didattico” (Brousseau, 1986) con grande attenzione a titoli in colore rosso, operazioni, algoritmi, risposta, persino un “diagramma concatenato” (?), mostrando peraltro di non avere compreso nulla del problema e senza rendersi nemmeno conto che il loro risultato: “72 giorni”, non è compatibile con i dati del problema. 

Non sono mancati quesiti INVALSI come il seguente:

La matematica si fa con gli anni sempre meno algoritmica e sempre più linguistica e logica. Qui l’autore del quesito solleva l’alunno dalla decisione di quale operazione effettuare e anche dall’esecuzione della divisione. Punta al significato del risultato, colpendo una delle competenze deboli degli alunni italiani. L’insegnamento della geometria lascia parecchio a desiderare, non solo in Italia. Da tempo Raymond Duval ha denunciato come le figure e lo spazio siano troppo spesso insegnati “come botanica” (Duval, 2008). L’insegnante tende a presentare soprattutto figure regolari collocate in posizione standard. Il risultato è che ad esempio un quadrato leggermente ruotato non è più riconosciuto come tale. Spesso i problemi di geometria si riducono ad applicare formule a figure con delle misure scritte sopra. I quesiti INVALSI e i problemi delle gare di matematica puntualmente mettono in evidenza i limiti di questo insegnamento:

Spesso gli allievi giovani non riconoscono un quadrato, semplicemente perché non è collocato in posizione standard, oppure non riconoscono un pentagono o un esagono, perché non sono regolari. Dai primissimi anni di scuola occorrerebbe nutrire la didattica scolastica con un ricco e variato “problem solving geometrico”.

Anche nel nostro gruppo, non numerosissimo, sono emerse molte strategie differenti: il conteggio dei quadretti, con il problema della gestione dei quadretti non interi,  il calcolo di aree di triangoli mediante la formula classica, osservazioni sintetiche su rettangoli divisi in due parti congruenti da una loro diagonale.

Un’altro problema del Rally con il quale ci siamo cimentati è stato Chiodi e cordicelle (seconda prova, marzo – aprile 1999 ©ARMT):

Elena e Mario hanno piantato 6 chiodi in una tavoletta come in figura. I due bambini hanno delle cordicelle e provano a formare dei triangoli legandole ogni volta intorno a tre chiodi.

Mario riesce a formare 9 triangoli. Quando prova Elena ne forma 18.

E voi, quanti triangoli riuscite a formare? Disegnate i vostri triangoli. Spiegate il procedimento che avete seguito. Cercate anche di dimostrare che non vi sono altri triangoli oltre a quelli che avete trovato voi. [Questa ultima richiesta lo colloca anche al biennio della scuola secondaria di secondo grado].

5. Da una storia a un problema

Marta è assillata dalla preoccupazione di risparmiare denaro per arrivare a fine mese. Una mattina, al mercato rionale, è attratta da un venditore di stoffe che offre a buon prezzo spezzoni di tessuti per tovaglie.

“Forse ho trovato la soluzione che cercavo per ricoprire il tavolo della taverna con una bella tovaglia!”, pensa fulmineamente Marta e acquista il pezzo di tessuto che le piace di più.

Appena rientrata in casa, stende il tessuto sul tavolo della taverna ma… il tavolo è un quadrato 3m x 3m mentre il tessuto è un rettangolo 2m x 5m.

Marta si rende conto che il tessuto è più che sufficiente per ricoprire il tavolo, ma come bisogna tagliarlo e ricucirlo utilizzandolo interamente senza buttarne via nemmeno un pezzettino? Inoltre è necessario che il numero di tagli sia il più piccolo possibile, in modo da economizzare il tempo per effettuare le cuciture.

Dopo qualche notte insonne, Marta trova la soluzione ottimale: con tre tagli ottiene cinque pezzi che, opportunamente accostati, formano un quadrato.

I due rettangoli 3 x 1 si sovrappongono e si tagliano lungo una diagonale (Terzo taglio).

Ecco i cinque pezzi ottenuti da Marta:

Ed ecco il quadrato di lato l = √10 (radice quadrata di 10)

La storia non finisce qui …

Marta racconta alla sua amica Carla la soluzione trovata per trasformare un rettangolo in un quadrato equivalente ad esso e, per puro caso, anche Carla da tempo vuole ricoprire un tavolo quadrato 4m x 4m. Passa qualche giorno e Carla chiede aiuto all’amica per quadrare un tessuto rettangolare 3m x 6m acquistato al mercato dal solito venditore.

Questa volta il problema si presenta più difficile e la soluzione di Marta fallisce.

Però Nicòl, la nipotina di Marta trova un’altra soluzione sempre con tre tagli…

Ottiene un quadrato di lato: l = 3√2  

Il seguito della storia che porta a quadrare un rettangolo qualsiasi lo trovate in (Iannamorelli, 2013, 2014)

6. Sviluppi di un cubo

I nostri corsisti non conoscevano l’ambiente geometrico dei polimini. Abbiamo quindi proposto loro l’esplorazione delle semplici figure geometriche ottenibili accostando opportunamente quadrati uguali. Particolarmente interessante è la costruzione dei “pentamini”: Quanti sono? Il più grande? Il più piccolo? Il perimetro maggiore? Il perimetro minore? Ci sono assi di simmetria? Ci sono centri di simmetria? Come assemblare tutti i pentamini (sono dodici) per formare un grande rettangolo? In quanti modi? Quali pentamini si chiudono? Come costruire gli sviluppi possibili del cubo?

Riteniamo particolarmente formative per i docenti, e quindi per i loro alunni, tutte le esperienze di esplorazione geometrica, di problem solving slegato da calcoli e applicazione di formule, che mirano a stimolare la curiosità, l’intuizione e la visione spaziale.

L’ultimo artefatto presentato è stato il geopiano ideato diversi anni fa da Caleb Gattegno (1911 – 1988), pedagogista, matematico e professore all’Università di Londra. Accanto ai più antichi in legno ne circolano ultimamente diversi in materie sintetiche (polionda) o addirittura virtuali. Anche in questo caso, come nel caso dei pentamini, le domande sono molte. Quali e quanti  segmenti possibili? Quali e quanti triangoli? Quadrilateri? Eccetera. Nel caso dei geopiani più grandi con allievi giovani ci si può restringere a un sottogeopiano tre per tre per diminuire i casi possibili.

Sul geopiano ovviamente l’unità di area è un quadretto della griglia e, quindi, scoprire il modello aritmetico per calcolare l’area di un rettangolo (A = b x h) è semplicissimo: si tratta di una scorciatoia che permette di evitare il conteggio di tutti i quadretti contenuti nella figura. Risulta semplice anche il passaggio al triangolo rettangolo: e una bella attività laboratoriale è la scoperta del modello per calcolare l’area di un triangolo qualunque.

A caccia di invarianti

Si parte da un triangolo rettangolo, per esempio, di area 4 (fig.1)

… e poi si modifica la figura muovendo l’elastico ottenendo il triangolo non più rettangolo di fig. 2.

Come si calcola l’area di questo secondo triangolo?
Una risposta può consistere nel racchiudere, con un elastico, il triangolo in un rettangolo di area 8 e da tale numero si sottrae l’area dei due triangoli rettangoli di area 1 e 3.Come si calcola l’area di questo secondo triangolo? Una risposta può consistere nel racchiudere, con un elastico, il triangolo in un rettangolo di area 8 e da tale numero si sottrae l’area dei due triangoli rettangoli di area 1 e 3.

Oppure, si può scomporre il triangolo in due triangoli rettangoli di aree 1 e 3, semplicemente collocando un elastico come in fig. 4

In entrambi i casi l’area del triangolo di fig. 2 è sempre 4.
Si continua così spostando ancora l’elastico per ottenere i triangoli di fig. 5.

Con le tecniche usate in precedenza si trova che l’area di questi nuovi triangoli è sempre 4.

In conclusione si scopre che l’area non varia se il vertice libero di muoversi viene spostato sempre sulla stessa riga di chiodi.

Se l’elastico viene posizionato intorno a un chiodo di una riga superiore …

L’area è maggiore di 4.

Se, invece, l’elastico viene spostato sulla riga inferiore …

L’area è minore di 4.

Un invariante per il calcolo dell’area è la distanza tra la riga di chiodi che contiene i due vertici fissi e quella, ad essa parallela, che contiene il vertice libero: questa distanza si chiama altezza del triangolo relativa al lato di questo individuato dai due vertici fissi.

Ritornando al nostro triangolo di partenza di area 4, spostiamo uno dei due vertici fissi:

L’area diventa maggiore o minore di 4.

Si scopre così un altro invariante per il calcolo dell’area di un triangolo: è la distanza tra i due vertici che inizialmente erano stati vincolati sulla stessa riga di chiodi e tale distanza si chiama base del triangolo. Finalmente arriviamo al modello aritmetico per calcolare l’area di un triangolo:

avendo indicato con b la base e con h l’altezza ad essa relativa.  

Si potrebbe obiettare che questo percorso lungo e faticoso “ci ha fatto perdere tempo!”. La risposta è quella data da Emma Castelnuovo: “Lasciate ai ragazzi il tempo di perdere tempo”.

L’area di un poligono qualunque sul geopiano

La scoperta del modello per calcolare l’area di un rettangolo e di un triangoloavente un lato su una riga orizzontale o verticale è sufficiente per calcolare l’area di qualunque altro poligono rappresentato con un elastico sul geopiano: basta imparare a scomporre la figura in rettangoli e triangoli così fatti.

Nel triangolo di fig. 6 il modello aritmetico per calcolarne l’area non è applicabile in quanto come base si potrebbe scegliere uno dei tre lati, ma la sua misura necessita dell’applicazione del teorema di Pitagora, sconosciuto nella Scuola Primaria e il calcolo dell’altezza relativa a uno di questi lati risulta difficile anche per ragazzi che frequentano le Scuole Secondarie. Invece, il calcolo dell’area delle due figure rappresentate sul geopiano si risolve facilmente scomponendole in triangoli (o anche rettangoli) e sommando le aree di questi.

Nell’articolo (Jannamorelli 2018) si possono scoprire altri modelli per calcolare l’area di alcune figure e, in particolare, si può scoprire la formula di Pick per calcolare l’area di una figura qualsiasi sul geopiano senza buchi. 

1. Conclusioni

Abbiamo qui frasi scritte da alcuni corsisti all’inizio e al termine del laboratorio:

Quattro mezze giornate non sono sufficienti per un vero corso di Problem Solving. Tuttavia i nostri partecipanti, nella restituzione finale alla festa della matematica per le strade di Pettorano, sono riusciti a coinvolgere colleghi e passanti di tutte le età in giochi e sfide, per convincere tutti che la Matematica è anche fantasia, creatività, bellezza, piacere!

8. Sitografia e Bibliografia

Anichini G., Brunelli F., Profili formativi sulla matematica, P M Edizioni, 2024.

Baccaglini-Frank A., Di Martino P., Natalini R., Rosolini G., Didattica della matematica, Mondadori, 2017.

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Brousseau G. Fondaments et métods de la didactiquedesmathématiques: Recherches en didactique del mathématiques, 1986.

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Castelnuovo E, Didattica della matematica, a cura di Arzarello F. e Bartolini Bussi M., UMI CIIM, Edizioni Utet, 2017 (la prima edizione è del 1963, La Nuova Italia, Firenze).

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Safaei N., Suppa E., Tupitti R., Problem solving in algebra e teoria dei numeri. Preparazione alle gare matematiche, U Math, Scienza Express, 2023.

Prodi G., Matematica come scoperta, Casa Editrice D’Anna, 1975.

Prodi G., Scoprire la Matematica, Ghisetti e Corvi, 2006.

UMI – CIIM, Matematica 2001, Materiali per un nuovo curricolo di matematica con suggerimenti per attività e prove di verifica, 2001.

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Zan R., Di Martino P., Problemi al centro. Matematica senza paura, Giunti Scuola, 2019.

OCSE PISA, I risultati degli studenti italiani in Matematica, Lettura e Scienze, 2022:

DocumentoOCSE.pdf (matmedia.it)

Rapporto_nazionale_PISA2022_.pdf (cineca.it)

Cos’è e come funziona l’Indagine OCSE PISA – INVALSIopen

B. Iannamorelli, Al mercato con Euclide, Bollettino dei docenti di matematica, Canton Ticino, Svizzera, 2013. L’insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, Paderno del Grappa, Feb. 2014.

B. Iannamorelli, Geometria sul geopiano: attività laboratoriali per scoprire la formula di Pick, Mondo Matematico e Dintorni, Vol 1, No 1-2 (2018), 41-52, APAV, Pescara. Gli autori sono insegnanti in pensione di scuola secondaria di primo e secondo grado. Da sempre si interessano di didattica della matematica.

Sregolario
Lo Sregolario invita a ripensare l’insegnamento della matematica, sfidando l’abitudine di trasmettere regole rigide e nozioni da memorizzare, spesso percepite come assolute e immutabili.

Laboratori di geometria con il geopiano
Il geopiano è uno strumento didattico che può facilitare la comprensione della geometria attraverso un approccio pratico e visuale che stimola il pensiero critico e la sperimentazione diretta